Neste tópico calcularei o campo elétrico e o potencial elétrico de um dipolo.
O momento de dipolo elétrico $$\vec{p}(\vec{r})$$, é uma medida da separação entre cargas elétricas positivas e negativas em uma dada distribuição de cargas em um ponto $$\vec{r}$$ do espaço.
$$\vec{p}(\vec{r})=\sum_{i=1}^{N} q_{i} (\vec{r}_i – \vec{r}) =q_{1} (\vec{r}_1 – \vec{r})+q_{2} (\vec{r}_2 – \vec{r}) + … + q_{N} (\vec{r}_N – \vec{r})$$
O modelo mais simples para um dipolo é o de um átomo neutro com $$N=2$$, ou seja, uma carga puntiforme $$q_{+}=+q$$ em $$ \vec{r}_{+}=+\frac{d}{2} \hat{i}$$, e outra carga puntiforme $$q_{-}=-q$$ em $$ \vec{r}_{-}=-\frac{d}{2} \hat{i}$$.
A figura ao lado mostra a geometria do problema.
Estamos interessados em calcular o campo életrico e o potencial elétrico no ponto $$P$$ na qual sua localização é dada pelo vetor, $$\vec{R}=x_{0}\hat{i}+y_{0}\hat{j}$$. (1)
É fácil de ver pela figura que $$\vec{r}_{+}=\vec{R}-\frac{d}{2} \hat{i}$$ e $$\vec{r}_{-}=\vec{R}+\frac{d}{2} \hat{i}$$. (2)
Sabemos calcular o potencial elétrico criado por uma unica carga puntiforme assim, o potencial elétrico no ponto P é a soma dos potenciais criado pelas duas cargas assim podemos escrever,
$$V=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q_+}{r_{+}}+\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q_-}{r_{-}}=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}) =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}(\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{+}r_{-}}) $$. (3)
Das equações (1) e (2) podemos ver quer:
$$r_{+}=\sqrt{(x_0 + d/2)^2+(y_0)^2}$$
$$r_{-}=\sqrt{(x_0 – d/2)^2+(y_0)^2}$$
Se expandirmos em série de Taylor $$r_{+}$$ e $$r_{-}$$ para pequenos valores de $$d$$, ou seja, manteremos somente termos lineares em $$d$$, obtemos,
$$r_{+} \approx \sqrt{(x_0)^2+(y_0)^2}+\frac{x_0}{2\sqrt{(x_0)^2+(y_0)^2}}d\approx R + \frac{x_0 d}{2R}$$
$$r_{-} \approx \sqrt{(x_0 )^2+(y_0)^2}-\frac{x_0}{2\sqrt{(x_0)^2+(y_0)^2}}d \approx R – \frac{x_0 d}{2R} $$
Com esse resultado, a equação (3) pode ser escrita por,
$$V \approx \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{ (R – \frac{x_0 d}{2R})-(R + \frac{x_0 d}{2R}) }{ (R + \frac{x_0 d}{2R})(R – \frac{x_0 d}{2R})}\right) \approx \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{ – x_0 d }{ R^{3} }\right) = \frac{\vec{p}\cdot \vec{R}}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}} $$.
$$V = \frac{\vec{p}\cdot \vec{R}}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}} $$.
Onde $$\vec{p}=q\vec{d}=-qd\hat{i}$$.
Como o campo elétrico é dado por: $$\vec{E}=-\nabla V$$ obtemos,
$$\vec{E}=-\nabla (\frac{\vec{p}\cdot \vec{R}}{4\pi\epsilon_{0}R^{3}}) = – (\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k})(\frac{p_x X+p_y Y+p_z Z}{4\pi\epsilon_{0} (X^{2}+Y^{2}+Z^{2})^{3/2}})$$
$$\vec{E}=- \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}[ (\frac{p_x}{R^3}-3\frac{(\vec{p}\cdot \vec{R})X}{R^5})\hat{i}+(\frac{p_y}{R^3}-3\frac{(\vec{p}\cdot \vec{R})Y}{R^5})\hat{j}+(\frac{p_z}{R^3}-3\frac{(\vec{p}\cdot \vec{R})Z}{R^5})\hat{k}]$$
$$\vec{E}=- \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}[(\frac{\vec{p}}{R^3}-3\frac{(\vec{p}\cdot \vec{R})\vec{R}}{R^5}]$$