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Exame de Qualificação

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Alunos regulares do curso devem  prestar um exame de qualificação constituído de provas elaboradas por uma banca indicada pelo colegiado. O programa será pré-determinado e abordará conteúdo das disciplinas: Álgebra Avançada, Análise no IR^n e Geometria Diferencial.

Em caso de insucesso em alguma prova, o aluno terá uma segunda chance no conteúdo desta prova.

Ao final do seu primeiro ano de curso o aluno deve estar aprovado no exame.

Serão automaticamente desligados do Curso os alunos que forem reprovados no Exame de Qualificação Escrito em segunda chance.

 

Datas das provas de Exame de Qualificação de cada ano são divulgados no Calendário.

 

Programas das Provas:

 Análise no R^n

1. Topologia no R^n : Seqüências no R^n; Topologia; Limites e continuidade; Compacidade; Conexidade; Norma de uma transformação linear.

2. Aplicações diferenciáveis: Definição, derivadas direcionais e parciais, exemplos (funções como caso particular); Regra da Cadeia; Vetor Gradiente; Desigualdade do Valor Médio; As classes de diferenciabilidade C^k, derivadas de ordem superior e a Fórmula de Taylor;

3. Teorema da Aplicação Inversa e Teorema da Aplicação Implícita: A forma local da imersões; A forma local das submersões; Teorema do posto.

4. Integrais múltiplas: Definição, caracterização das funções (Riemann-) integráveis; Integração repetida; Mudança de variáveis;

 

Álgebra Avançada

1. Grupos: Homomorfismos, normalidade e grupos quocientes, os teoremas de isomorfismos, grupos simétricos e diedrais, ações de grupos, os teoremas de Sylow, grupos livres, grupos abelianos finitamente gerados.

2. Anéis: Ideais, teoremas de isomorfismos, domínios Euclidianos e de ideais principais, anéis de polinômios.

3. Corpos e Teoria de Galois: Extensões, elementos algébricos e transcendentes, extensões algébricas, normalidade e separabilidade, o teorema de Galois, grupos de Galois de polinômios, corpos finitos.

 

Geometria Diferencial

1. Curvas: Curvas regulares, comprimento de arco, fórmulas de Frénet, forma canônica local de uma curva.

2. Superfícies e aplicações diferenciáveis: Superfícies regulares, mudança de coordenadas, funções diferenciáveis, plano tangente e derivada, primeira forma fundamental, orientação.

3. Curvaturas e classificação de superfícies: Aplicação de Gauss, segunda forma fundamental, curvatura normal, direções principais e assintóticas, pontos umbílicos. Curvatura Gaussiana. Aplicação de Gauss em coordenadas locais. Superfícies de revolução. Isometrias, aplicações conformes. Teorema de Gauss.

4. Geodésicas: Transporte paralelo, derivada covariante, geodésicas. Curvatura geodésica. Teorema de Gauss-Bonnet. Aplicação exponencial, coordenadas polares geodésicas. Propriedades de geodésicas. Superfícies completas, Teorema de Hopf-Rinow.